Bunun sebebini açıklamadan önce çok iyi bildiğimiz fakat daha önceden hiç dikkat etmediğimiz; bir kapalı eğrinin, bir düzlemi iki bölgeye ayırması üzerinde yoğunlaşalım. Bu bölgelerden kapalı eğrinin dışında kalan tarafına Dış Bölge, içinde kalan tarafına ise İç Bölge diyelim. Ve şu açıkça görülür ki: iç bölgede alınan bir noktadan dış bölgede alınan bir noktaya bir eğri çizmek istenildiğinde bu eğri kesinlikle kapalı eğrimizi keser. Çıkardığımız bu sonuç matematikte Jordan Eğri Teoremi olarak anılır. Çok kolay bir teorem olarak göründüğünden 1887 yılına kadar Camille Jordan, "Cours d'Analyze de l'École Polytechnique" adlı kitabında bahsedene kadar kimse bu teoremi ortaya çıkarma ihtiyacı duymamıştır. Oysa bu teorem bazı karışık matematiksel soruların çözümünde bize çok yarar sağlamaktadır.

Şimdi sorumuza tekrar dönelim:

1.,2. ve 3. muslukları birbirlerini kesmeyecek şekilde 1. ve 2. evlere bağlayalım.

Şimdi de 1. ve 3. musluk ile 1. ve 2. evin birbiriyle olan bağlantılarını göz önüne alarak, aşağıdaki şekli çizelim.

Artık yeni kapalı bir eğri oluşturmuş olduk. Ve Jordan eğri teoremine göre bu kapalı eğrinin içinden (3.evden) dışına (1. veya 2. musluğa) çizilecek bir eğri mutlaka kapalı eğrimizi kesmek zorundadır. Buradan da problemimizi sonuçlandıramayacağımız sonucuna ulaşmış oluruz.

Bu teoremin bir başka uygulanışı da aşağıdaki soru ile gösterilebilir. Şekli göz önünde alarak, P noktasının, kapalı eğrinin içinde veya dışında olduğunu araştıralım.

Q noktasının eğrinin dışında olduğu aşikardır. P’ den Q’ ya bir çizgi çizersek şunu görebiliriz:

Eğer P ve Q’ yu birleştiren çizgi, eğriyi bir kez keserse P içeridedir; eğer iki kez keserse P dışarıdadır; eğer üç kez keserse P içeridedir; dört kez keserse P dışarıdadır… Bu şekilde devam edersek şu sonuca ulaşırız:

P ve Q’ yu birleştiren çizgi ile eğrinin kesim noktaları bir tek sayı belirtiyorsa P eğrinin içinde; çift sayı belirtiyorsa P eğrinin dışındadır.

Ve sorumuza dönersek, bu çizginin eğriyi altı noktada kestiğini görürüz. Böylece yine Jordan eğri teoremine göre P noktası, şekildeki kapalı eğrinin dışındadır, diyebiliriz.

KAYNAKLAR:

Buskes, G. and Rooij, A.V., 1997, Topological Spaces: From Distance To Neighborhood, Springer-Verlag

http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbjordan.htm

http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/Jordan.html

Yorumlar (0)

Yorum yaz

Isim

E-posta

Website

Baslik

Yorum

daha kucuk | daha buyuk

E-posta ile takip (sadece kayitli kullanicilar)

Okudum ve kabul ediyorum Kullanim sartlari.

Lutfen goruntulenen karakterleri yaziniz

Yorum Ekle