Bir harmonik (sinüsoidal) hareketin, dairesel hareketin iz düşümü olarak ele alınabileceğini daha önceki derslerimizde (Fizik II)  görmüştük. Dairesel hareketin yarı çapına eşdeğer olan vektörün aynı zamanda sinüsoidal değişen büyüklüğün maksimum değerine (genliğine) eşit olduğunu da biliyoruz. Böyle bir harmonik hareketin,

( 1)

denklemi ile tanımladığını görmüştük. Buna göre bir harmonik hareket:

1) Grafik olarak sinüs eğrisi biçiminde

2) Matematiksel olarak bir eğri denklemi ile

3) Sembolik olarak dönen bir vektör ile

gösterilebilir, Şekil 1

 

Şekil1. Bir harmonik hareketin gösterilişi.

a) vektörel (fazör)     b) grafiksel        c) matematiksel

Şekil 1 de etkin değeri 40 V olan bir alternatif gerilimin üç farklı biçimde gösterilişi verilmiştir. Gerilimin etkin değeri 40 V olduğundan, maksimum değeri,

V_m = Ö2.V = Ö 2.40 = 56,5 V

olacaktır. Dolayısıyla vektörel gösterilişte bu gerilim 56,5 V’luk ve wt açısal hızı ile dönen bir vektör ile; grafiksel gösterilişte maksimum değeri 56,5 V olan bir sinüs eğrisi ile ve nihayet matematiksel olarak,

V= 56,5 Sin wt

denklemi ile gösterilebilecektir.

Bu ilkeler göz önüne alındığında bir sinüs dalgasının vektörel olarak gösterimi, alternatif akım devrelerinin irdelenmesinde büyük kolaylıklar sağlar. Örneğin aynı frekansa sahip alternatif akım ile alternatif gerilimi göz önüne alalım. Bunlar saat ibrelerinin tersi yönünde dönen ve pozisyonları birbirine göre sabit kalan iki vektör olacaklardır. Şekil 2.4. de bu iki büyüklük grafiksel ve vektörel olarak gösterilmiştir.

Şekilden görüleceği gibi gerilim, akımdan daha ilerdedir. Akım sıfırdan yükselmeye başlarken gerilim pozitif bir değer almış durumdadır. Buna göre akım ve gerilimin matematik ifadeleri,

olacaktır. Gerilim vektörü, wt’nin bütün değerleri için , akım vektörünün a kadar önünde olacağından şekil, akımı t= 0 anından başlatarak kolayca çizilebilir.

 

Şekil 2. Aynı frekanslı iki sinüs değişkeninin grafiksel ve vektörel olarak gösterilmesi.

Farklı frekanslardaki sinüs dalgaları aynı fazör diyagramında gösterilemez. Çünkü dönen vektörlerin hızları çeşitli sayıdaki dalganın her biri için farklı değerde olacaktır. Bunun sonucu olarak da büyüklükler arasındaki faz açısı her an değişecektir.

Şekil 2. de gösterildiği gibi gerilim dalgası verilmiş bir doğrultu için akım dalgasından daha önce sıfır noktasından geçiyorsa, bu durum gerilim akımdan ileridedir veya akım gerilimden geridedir terimleri ile anlatılır. Geride veya ilerde olma olgusu dalgaların genliğini gösteren vektörler arasındaki açı olarak da belirtilebilir. Şekilde akım, gerilimden a kadar geridedir. a açısına akımın gerilime göre faz açısı veya faz farkı denir. İki dalga arasındaki faz açısı sıfır olduğunda dalgalar aynı fazdadır denir. Şekil 2.5. de gerilim ve akımın aynı fazda oluşları vektörel olarak gösterilmiştir.

 

Şekil 3. Gerilim ve akımın aynı fazda olması

Alternatif akım devrelerinin hesaplamalarında akımların ve gerilimlerin toplanması, çıkarılması, güç hesaplamalarında ise akım ve gerilimin çarpılması  gerekir. Bu büyüklükler vektörel büyüklükler olduklarından tüm bu işlemler vektörel olarak yapılmalıdır. Alternatif akım devrelerinin analizi ilerde görüleceği gibi bu vektör işlemleri ile gerçekten çok kolay olarak yapılabilmektedir.

Diğer yandan sinüs dalgalarının matematiksel gösterimi ve bunlarla ilgili hesaplama yöntemleri de alternatif akım devrelerinin analizinde sıkça kullanılır.

Şekil 4. da maksimum değeri 100 V olan gerilim vektörünün bir enstantenesi gösterilmiştir. Vektör bu anda yatayla 30 derecelik bir açı yapmaktadır. Matematiksel gösterimde esas olan vektörün uzunluğu ve eğimini ifade edebilmektir.

 

Şekil 4. Bir vektörün bileşenleri.

Dik koordinatlar kullanıldığında bir vektör x ve y bileşenlerinin tanımlaması ile belirlenir. Şekil 2.6. da verilen vektörün x bileşeni,

değerindedir. Aynı vektörün y bileşeni ise

olacaktır. Buna göre bu vektörün matematiksel ifadesi,

(1)

şeklinde olacaktır. Burada E büyüklüğün vektör olduğunu, + j ise y bileşeninin pozitif y doğrultusunda olduğunu, ve değerinin 50 olduğunu, 86,6 da vektörün x bileşeninin büyüklüğünü anlatır. (2.11) bağıntısından vektörün büyüklüğü dik üçgen bağıntısı kullanılarak

(2)

şeklinde hesaplanır. Vektörün eğimi ise,

(3)

q = 30⁰

şeklinde bulunur.

Bazı durumlarda vektörü polar koordinatlarda göstermek daha uygun olur. Buna göre Şekil 2.6. daki vektör,

(4)

ile gösterilir. Bu gösterilişte,  sayı vektörün büyüklüğünü sağdaki derece olarak sayı ise faz açısını belirtir. Ðq sembolü faz açısının pozitif olduğunu anlatır. q veya Ð-q notasyonu ise faz açısının x eksenine göre negatif olduğunu belirtir.

Bu iki tür vektör gösterilişi birbirine dönüştürülebilir. Örneğin  50 A lik 45⁰ eğimli bir akım vektörünü göz önüne alalım. Bu vektörün polar koordinatlardaki gösterilişi;

I = 50 Ð45⁰

şeklindedir. Aynı vektörün rektangular (dik koordinatlarda) koordinatlardaki ifadesi ise,

(5)

Şeklinde olacaktır.

2.15 denklemi tekrar 2.14 deki polar biçime dönüştürülebilir. I vektörünün büyüklüğü de;

(6)

ile hesaplanabilir.

olduğundan,

I= 50Ð45⁰

bulunacaktır.

Bu ifadelerdeki j bilindiği gibi +, -, /, ,Ö, operatörleri gibi bir operatör olup vektörün dönmesini anlatır. j sembolü bir vektörün +x doğrultusuna göre 90⁰ doğrultuda bir vektör olduğuna işaret eder.

+j değerleri için dönme saat ibrelerinin tersi yönünde; -j değerleri için dönme saat ibreleri yönündedir. Buna göre +j3 notasyonu 3 birim uzunluğunda +y doğrultusunda bir vektörü anlatır. - j4 notasyonu da -y doğrultusunda 4 birimlik bir vektör anlamı taşır.

 

Yorumlar (0)

Yorum yaz

< Önceki		Sonraki >